L'Explorateur de Fourier de Geomorph

L'explorateur de Fourier de Geomorph

Qu'est-ce que l'explorateur de Fourier?

L'Explorateur de Fourier est un outil offert par Geomorph pour traiter un terrain avec une transformation de Fourier. Il permet d'ajuster finement les fréquences du terrain, ou de tout autre image éditable avec Geomorph, et de voir les résultats en temps réel.

Qu'entend-on par les fréquences d'une image?

Considérez une fréquence comme un niveau particulier de détail. Les hautes fréquences (ou courtes longueurs d'onde) correspondent à de petits détails, les basses fréquences (ou grandes longueurs d'onde) à des structures plus imposantes.

Qu'est-ce qu'une transformation de Fourier?

Joseph Fourier (1768-1830) est un mathématicien français qui a postulé que toute fonction peut être décomposée en une somme de fonctions périodiques simples comme des sinus ou des cosinus. Une somme de ce genre est une appelée une série de Fourier.

Ainsi, une transformation de Fourier prend des données dans le "domaine spatial" (un son, une image, un terrain...) et les traduit dans le "domaine des fréquences' ou "spectre des fréquences", qui représente la somme des fonctions périodiques.

Le principe est plus facile à visualiser avec une image reconnaissable qu'avec un terrain, c'est pourquoi nous l'illustrerons avec une photographie de Bouboule le Chat.

Le "domaine spatial" de Bouboule le Chat

Cliquez avec le bouton de droite pour télécharger une version 16 bits de 512x512, utilisable dans Geomorph.

Le "spectre des fréquences" de Bouboule le Chat

Une représentation du résultat de la transformation de Fourier est proposée à droite. Il ne s'agit pas du résultat lui-même, parce qu'en réalité, ce n'est pas une image! Le centre de l'image coïncide avec la coordonnée (0,0) du résultat, soit les plus basses fréquences. Il est habituel de déplacer le résultat de la moitié de sa grandeur pour centrer la zone qui contient l'information ayant le plus d'impact sur l'apparence de l'image d'origine.

Si vous appliquez une tranformation de Fourier inverse au spectre des fréquences, vous obtiendrez le domaine spatial d'origine.

Une transformation de Fourier décompose une image en ses fréquences, mais on peut aussi composer une image à partir de fréquences choisies. Ce principe est appliqué dans Geomorph lorsque l'on crée un terrain par "addition progressive de surfaces". Dans cet exemple, un terrain "boîte d'oeufs" est généré et sera utilisé dans ce tutoriel, avec l'image de Bouboule et le terrain par défaut de Geomorph.

Le terrain "boîte d'oeufs" utilisé dans ce tutoriel.

Le spectre de fréquences de cette image. Notez comment les points sont régulièrement espacés. On se serait attendu à moins de points, parce qu'il n'y a qu'une fréquence apparente. En fait, les points plus sombres peuvent être vus comme des harmoniques d'une note de musique.

Le terrain "par défaut" de Geomorph ...

... et son spectre de fréquences. Comme le domaine spatial a été généré à l'aide d'un processus pseudo-aléatoire, les fréquences sont réparties plus uniformément que dans les deux autres images.

Que peut-on faire avec une transformation de Fourier?

Sommairement:

Mettre à zéro des hautes fréquences dans le spectre de fréquences, et convertir le spectre résultant dans le domaine spatial, donne une image plus floue.
L'augmentation des hautes fréquences donne une image d'apparence plus précise.
Mettre à zéro les basses fréquences donne une apparence embossée, avec un contraste plutôt réduit.
L'augmentation des hautes fréquences donne... ça dépend! Avec Bouboule le Chat, le résultat dépasse l'intervalle de valeurs affichable si le contraste de l'image originale n'est pas abaissé auparavant.

Tout cela peut être fait avec l'Explorateur de Fourier, en appliquant un masque au spectre des fréquences.

Quelques points utiles à connaître au sujet de l'interface de l'Explorateur de Fourier

... plutôt que de les apprendre par essais et erreurs

L'Explorateur de Fourier est un dialogue "modal". Les fenêtres dans lesquelles sont édités les documents Geomorph ne répondent pas pendant que l'Explorateur est ouvert. Vous devez quitter l'explorateur avant de travailler à nouveau dans ces fenêtres. Pour la même raison, lorsque vous désirez afficher le terrain avec POV-Ray, vous devez cliquer sur l'icône POV-Ray de l'Explorateur, non celui de la fenêtre du document - il est facile de se tromper!
Quand vous quittez l'Explorateur en fermant la fenêtre, les changements effectués ne sont pas conservés. Pour les conserver, vous devez obligatoirement cliquer le bouton "Conserver et quitter".
Le "Choix d'aperçu" est ce qui est conservé au retour dans la fenêtre du document Geomorph. Ainsi, si vous avez choisi d'afficher en 3D le spectre de fréquences, cette image remplacera le terrain en cours d'édition. C'est volontaire, pour ceux qui voudraient utiliser ces images comme des terrains. Au retour dans la fenêtre d'édition, vous pouvez annuler ce changement, comme tout autre changement.

L'utilisation du masque

Le masque de l'Explorateur de Fourier est contrôlé par cette barre d'outils:

Le principe est simple: la partie en rouge du masque, ajustable avec des échelles à curseur, est retirée du spectre de fréquences avant d'appliquer la transformation inverse de Fourier.

Voici un exemple avec Bouboule le Chat:

(1) Bloc	Le masque "bloc" à un niveau de 5% sur la largeur et la profondeur. Seules les fréquences les plus basses, au centre, sont conservées. Cela adoucit l'image.
(2) Cadre	Le masque "cadre" à un niveau de 5%. Seules les fréquences les plus élevées (les détails) sont conservées. Le résultat correspond à l'image d'origine, moins l'image adoucie en (1).
(3) Boîte	Le masque "boîte" à un niveau de 5%, la grandeur de la bande étant aussi fixée à 5%. Seules les fréquences moyennes sont conservées.
(4) Fossé	Le masque et la bande sont encore fixés à 5% de la grandeur du spectre de fréquences. Le résultat équivaut à l'image originale moins les fréquences moyennes produites en (3).

Les images du spectre de fréquences masqué sont agrandies, comme elles le sont dans l'Explorateur de Fourier, parce que les fréquences les plus importantes pour l'oeil sont au centre.

Et il y a plus: l'amplitude du masque peut être ajustée pour réduire son effet. En outre, l'amplitude peut être négative. Dans ce cas, le masque devient bleu et l'effet est inversé. Par exemple, si le masque bleu est appliqué sur les fréquences les plus élevées, le résultat aura l'air plus précis - ou d'avoir plus de bruit de surface s'il s'agit d'un terrain.

Le masque "bloc" avec une amplitude négative.

L'effet d'une amplitude négative (le masque "bloc" à 5%)

La première tranche, à gauche, montre l'image originale, la tranche du centre montre l'effet d'une amplitude de 100%, la troisième tranche montre l'effet d'une amplitude de -100%.

L'utilisation d'un masque asymétrique

Pour ceux qui voudraient explorer des effets inhabituels, le masque peut être décentré, et il peut être de forme rectangulaire plutôt que carrée.

Pour déplacer le masque, ajustez les curseurs +X et +Y.

Pour étirer le masque dans une dimension, décochez le bouton avec un signe "=" à la droite des échelles de largeur et de profondeur, qui relie ces deux échelles. Leurs curseurs se déplaceront séparément.

Un masque rectangulaire avec une largeur de 2% et une profondeur de 10%.
Un masque de 10% décentré, +X=6%, +Y=5%.
Largeur=10%, profondeur=1%, +X=5%, avec le terrain par défaut de Geomorph.
Largeur=0% (1 pixel), largeur=10%, sur l'image "boîte d'oeufs".	La source est à gauche, le résultat à droite: on peut voir qu'il n'y a plus d'onde horizontale.

D'autres caractéristiques de l'interface

Les parties réelles et imaginaires

L'affichage du spectre de fréquences montre trois onglets, appelés "Réel", "Imaginaire" et "Magnitude". Le résultat d'une tranformation de Fourier est un nombre complexe, composé d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. La partie imaginaire est un coefficient multiplié par la racine carrée de -1. La partie réelle correspond à l'amplitude de l'onde, la partie imaginaire à sa phase. La magnitude (ou module), qui est généralement ce que l'on affiche en représentant une transformation de Fourier, est le résultat de la racine carrée de (réel² + imaginaire²). En supposant qu'un nombre imaginaire est représenté dans un plan cartésien, X étant le coefficient réel, Y le coefficient imaginaire, la magnitude est la longueur du vecteur de (0,0) à (réel, imaginaire), tel que calculée par la formule de Pythagore.

Qu'est-ce qui peut être fait avec ces onglets? Le masque est appliqué seulement sur l'onglet couramment affiché. Par exemple, si vous masquez le spectre de fréquences à 100% et choisissez l'onglet "imaginaire", le résultat ne contiendra que l'effet de la partie réelle.

Le bouton "Réutiliser le résultat"

Le bouton "Réutiliser le résultat" prend la transformation inverse de Fourier, générée après l'application du filtre courant et affichée dans l'aperçu, puis l'utilise pour remplacer l'image source. Ainsi, vous pouvez y appliquer un nouveau filtre sans retourner dans la fenêtre de document de Geomorph.

Pour en savoir plus

Voici quelques liens, en anglais, que j'avais consultés en concevant l'Explorateur de Fourier, il y a déjà deux ou trois ans:

Image Transforms - Fourier Transform
Fourier Image Analysis
Fourier transform
Fourier transform theory
Fourier transform - Wikipedia, the free encyclopedia
Introduction to the frequency domain

En français, je vous réfère à Wikipedia:

Série de Fourier, page qui contient aussi un lien vers une animation Flash intéressante
Transformée de Fourier

Écrit en avril 2008

Contact: Patrice St-Gelais